3 Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasannya Lengkap
Matematika merupakan ilmu pasti yang dapat digunakan untuk membuktikan suatu fenomena. Suatu pernyataan matematika dapat dibuktikan melalui proses induksi matematika. Proses induksi matematika terdiri dari beberapa langkah yang sering membingungkan siswa. Dijelaskan contoh soal induksi matematika dan pembahasannya.
Contoh soal induksi matematika dan pembahasannya
1. Jika barisnya seperti di bawah ini. Buktikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk deret yang diberikan.
A(n) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2n = n(n+1), karena setiap nilai n adalah bilangan asli
Pembuktian suatu pernyataan matematika dapat dilakukan dengan induksi matematika dengan 2 langkah, yaitu dasar induktif dan langkah induktif. Bagaimana bekerja dengan induksi matematika.
sebuah. dasar induksi
Dasar induksi adalah membuktikan pernyataan benar jika nilai n diganti dengan 1. Jadi Anda bisa memasukkan nomor 1 dalam pernyataan itu.
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(n) → 2 + 4 + 6 +…. + 2n = n(n+1)
A(1) = 2, buktikan bahwa A(1) = 2 benar
A(n) = n(n+1)
A(1) = 1(1+1)
A(1) = 2
Dari bukti ini dapat disimpulkan bahwa A(1) = 2 benar. Proses selanjutnya adalah langkah induksi untuk menentukan A(k) dan A(k+1) benar.
b. langkah induksi
Anda dapat mengganti nilai k dan k+1 ke dalam persamaan untuk membuktikan bahwa pernyataan A(k) dan A(k+1) benar. Misalkan pernyataan A(k) benar,
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(k) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2k = k(k+1), k ε N
Asumsi yang dibuat menunjukkan bentuk pernyataan dengan meletakkan nilai k pada A(k) seperti gambar di bawah ini.
A(k) → 2 + 4 + 6 + ….. + 2k = k(k+1)
Bukti pernyataan A(k+1) juga benar,
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(k+1) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2(k+1) = (k+1)(k+1+1)
Jumlahkan kedua sisi suku K dengan suku baru, suku K+1, untuk membentuk persamaan berikut.
A(k+1) → 2 + 4 + 6 + ….. + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)
A(k+1) = k2 +k + 2k + 2
A(k+1) = k2 +3k+2
A(k+1) = (k+1)(k+2)
A(k+1) = (k+1)(k+1+1)
Pernyataan di atas membuktikan bahwa A(k+1) benar. Jadi, berdasarkan proses induksi matematika, A(n) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2n = n(n+1) benar untuk semua n bilangan asli.
2. Jika jumlah bilangan ganjil positif pertama adalah a2. Buktikan bahwa pernyataan matematis ini benar menggunakan induksi matematika.
Sama seperti soal di atas, ada 2 langkah yang harus dilakukan, yaitu dasar induksi dan langkah induksi.
sebuah. dasar induksi
Berdasarkan pernyataan di atas, bentuk pernyataan matematika dapat ditulis sebagai berikut.
X(a) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2a – 1) = a2
Jadi Anda bisa mengganti nilai n dengan 1 untuk memastikan bahwa pernyataan di atas benar.
X(a) : X1 + X2 + X3 + … + Xa = a2
X(1) = 1, buktikan kebenaran pernyataan X(1) = 1
X(a) = a2
X(1) = 12
X(1) = 1
Berdasarkan pembuktian di atas, jika a diganti dengan 1, maka jumlah bilangan ganjil positif pertama adalah a2.
b. langkah induksi
Langkah selanjutnya adalah menentukan bahwa X(k) dan X(k+1) benar. Untuk membuktikan kedua pernyataan ini, Anda perlu memasukkan nilai k apa pun ke dalam pernyataan tersebut sehingga menjadi bentuk berikut. Misalkan pernyataan X(k) benar,
X(a) : X1 + X2 + X3 + ….. + Xa = a2
X(k) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2k – 1) = k2
Dari asumsi yang dibuat, diperoleh X(k) sebagai berikut.
X(k) : 2 + 4 + 6 + ….. + (2k – 1) = k2
Buktikan bahwa pernyataan X(k+1) juga benar,
X(a) : X1 +X2 + X3 + ….. + Xa = a2
Jumlahkan kedua sisi suku K dengan suku baru, suku K+1, untuk membentuk persamaan berikut.
X(k+1) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2k -1) + (2k+1) = (k2) + (2k + 1)
X(k+1) = k2 +2k+1
X(k+1) = (k+1)2
Pernyataan di atas membuktikan bahwa X(k+1) benar. Jadi, berdasarkan proses induksi matematika, X(a) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2a – 1) = a2 di setiap penjumlahan, bilangan ganjil positif pertama benar.
3. Jika ada pernyataan “6n + 4 habis dibagi 5 karena setiap n adalah bilangan asli. Tentukan kebenaran pernyataan tersebut.
Anda dapat menemukan dasar induksi dan melakukan langkah induksi pada pernyataan di atas.
sebuah. dasar induksi
Berdasarkan induksi, Anda dapat mensubstitusi nilai n = 1 untuk membuktikan bahwa P(1) benar. Sehingga bentuk pernyataannya menjadi sebagai berikut.
P(n): 6n + 4 habis dibagi 5, masing-masing n adalah bilangan asli
P(1): 61 + 4 = 10
P(1) : 10 (habis dibagi 5)
Jadi pernyataan P(1) benar karena habis dibagi lima.
b. langkah induksi
Setelah Anda menemukan bahwa pernyataan P(1) benar. Anda dapat mengganti sembarang nilai k dan k+1 ke dalam pernyataan untuk membuktikan bahwa pernyataan P(k) dan P(k+1) benar. Asumsikan bahwa P(k) benar, pernyataannya menjadi sebagai berikut.
P(n): 6n + 4 habis dibagi 5, masing-masing n adalah bilangan asli
P(k): 6k + 4 habis dibagi 5, k ε N
Buktikan bahwa P(k+1) juga berlaku untuk pernyataan tersebut, sehingga persamaannya berbentuk
P(n): 6n + 4 habis dibagi 5, masing-masing n adalah bilangan asli
P(k+1) : 6k+1 + 4 = 6k+1 + 4 (menggunakan properti perkalian daya)
P(k+1) = 6(6k) + 4 (properti tambahan)
P(k+1) = 5(6k) + 6k +4
Formulir 5 (6k) habis dibagi 5 dan membentuk 6k +4 juga habis dibagi 5. Jadi P(k+1) habis dibagi 5 dan pernyataan itu benar. Induksi matematika yang dilakukan menunjukkan bahwa pernyataan “6n + 4 habis dibagi 5 karena setiap n adalah bilangan asli” benar.
Setelah melihat contoh soal induksi matematika di atas, kebenaran pernyataan matematika dapat ditemukan dalam dua langkah, yaitu dasar induktif dan langkah induktif, seperti yang telah dibahas di atas.
Baca juga:
soal matematika kelas 1
soal matematika kelas 3 sd
Angka dengan kekuatan pecahan
