Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal
Dalam kehidupan sehari-hari Anda akan menemukan banyak deret angka yang memiliki pola. Salah satu pola dalam bilangan adalah deret aritmetika.
Pada kesempatan kali ini kalian akan belajar tentang aritmatika yang didalamnya terdapat barisan dan deret. Selain itu, Anda juga akan mempelajari tentang rumus-rumus yang digunakan dalam pola perhitungan berikut ini.
memahami aritmatika
Pembahasan pertama yang akan Anda pelajari adalah pentingnya aritmatika dan ruang lingkupnya.
Aritmatika dalam matematika mengenal operasi dasar dengan bilangan, baik itu penjumlahan, pengurangan, pembagian maupun perkalian.
Operasi dasar pada bilangan tersebut membentuk dua pola aritmetika, yaitu barisan dan deret.
1. Perkembangan aritmatika
Definisi pertama yang akan Anda pelajari adalah deret aritmatika. Barisan aritmatika adalah susunan bilangan dengan pola tertentu yang memiliki selisih/perbedaan untuk setiap bilangan tetap.
Misalkan Anda memiliki urutan angka 1, 3, 5, 7 dan seterusnya.
Selisih setiap angka dalam urutan angka yang Anda miliki memiliki nilai tetap, yaitu bertambah 2.
Suatu barisan aritmatika memiliki nilai yang cenderung meningkat atau cenderung menurun.
Jika suatu barisan aritmatika memiliki nilai yang cenderung meningkat, seperti 1, 3, 5, 7, dst, maka barisan aritmatika tersebut memiliki selisih positif (b > 0).
Jika barisan aritmatika memiliki nilai yang cenderung menurun, maka nilai b<0.
Baca juga : Pola Bilangan
2. Deret aritmatika
Setelah Anda memahami deret aritmetika, saatnya memahami arti deret dalam matematika. Seri ini menggambarkan jumlah istilah atau angka dalam deret aritmatika.
Misalkan Anda memiliki garis 1, 3, 5 maka barisan tersebut merupakan jumlah dari semua sukunya.
Dalam suatu deret terdapat nilai tetap dan nilai rata-rata. Jika Anda berencana membuat deret angka yang suku pertamanya dan suku terakhirnya diketahui, Anda dapat menjumlahkan angka di antara keduanya, yang disebut tanda kurung.
Penting : Angka yang ditambahkan harus memperhatikan perbedaan antara setiap angka.
Rumus Aritmatika
Setelah mempelajari pengertian barisan dan deret dalam aritmetika. Sekarang kamu akan mempelajari rumus-rumus yang digunakan pada kedua sub materi tersebut.
1. Perkembangan aritmatika
Secara berurutan, Anda mempelajari perbedaan antara setiap angka dan suku setiap angka. Berikut ini adalah bentuk umum deret aritmetika.
a, a+b, a+2b, ……., a+(n-1)b
Di mana :
U1 = a + 0b = a
U2 = a+b
U3 = a+2b
Jadi rumus mencari suku n sebagai berikut :
Un = a+(n-1)b
b = Un – Un-1
Informasi:
sebuah adalah suku pertama dalam barisan tersebut
b berbeda untuk setiap suku
PBB adalah istilah pencarian ke-n
n adalah bilangan bulat
Baca juga : Pecahan
2. Deret aritmatika
Karena deret adalah penjumlahan dari deret aritmatika, maka rumusnya adalah sebagai berikut.
informasi:
baik adalah nomor baris ke-n
Untuk mencari Un menurut deret, Anda juga bisa menggunakan rumus berikut.
Un = Sn – Sn-1
Dalam larik, Anda juga dapat menemukan nilai tengah deret dengan rumus berikut.
Informasi:
Ut adalah bilangan tengah dalam deret tersebut
Baca juga: Sin Cos Tan
Contoh Pertanyaan dan Diskusi
1. Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, ….., tentukan nilai suku ke-9 barisan tersebut?
Untuk menyelesaikan soal di atas, Anda perlu mencari rumus Un dari deret menggunakan nilai dalam U2, U3 atau U4. Diketahui bahwa dalam soal ini suku awalnya bernilai 5, jadi a = 5.
Un = a + (n-1)b
U2 = 5 + (2-1)b
-2 = 5 + b
-7 = b
U9 = 5 + (9-1)(-7)
U9 = 5 + (8)(-7)
U9 = 5 – 56 = – 51
2. Tentukan nilai suku ke-33 barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …?
Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu mencari nilai b dan juga Un. Untuk menemukan Un Anda dapat menggunakan nilai U2 atau yang lainnya. Nilai suku awalnya adalah 3, jadi nilai a = 3.
Un = a + (n-1)b
U2 = 3 + (2-1)b
5 = 3 + b
b=2
Un = a + (n-1)b
U33 = 3 + (33-1)2
U33 = 3 + 64 = 67
3. Diketahui suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 34, dimana selisih setiap sukunya adalah 3. Tentukan nilai jumlah baris dari 34 mata rantai
Untuk menyelesaikan soal di atas, Anda harus terlebih dahulu mencari nilai suku awal dengan menggunakan nilai suku ke-16.
Un = a + (n-1)b
U16 = a+ (16-1)3
34 = a + 45
a = -11
Jadi untuk mencari jumlah baris dari 34 suku, kamu bisa menggunakan rumus Sn.
4. Tentukan S7 dari barisan aritmatika 4, 7, 10, ….?
Langkah pertama yang pertama adalah mencari selisih barisan menggunakan rumus Un.
Un = a + (n-1)b
U2 = 4 + (2-1)b
7 = 4 + b
b = 3
Jadi, tentukan banyaknya 7 suku pada barisan tersebut sebagai berikut
5. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 25 dan suku kesebelas dari barisan tersebut adalah 55. Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut
Untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan rumus Un dalam deret aritmetika. Diketahui suku pertama 25, jadi a=25, dan suku kesebelas adalah 55, jadi U11=55.
Un = a + (n-1)b
U11 = 25 + (11-1)b
55 = 25 + 10b
30 = 10b
b = 3
Ini adalah bagaimana nilai suku ke-20 dapat ditemukan
Un = a + (n-1)b
U20 = 25 + (20-1)3
U20 = 25 + 57 = 82
6. Bila nilai Sn suatu deret aritmetika diketahui 81. Temukan banyak suku dalam deret aritmatika ketika a = 1 dan U2 = 3
Untuk menyelesaikan soal di atas, kamu bisa menggunakan rumus Un sehingga kamu mendapatkan selisih untuk setiap suku.
Un = a + (n-1)b
U2 = 1 + (2-1)b
3 = 1 + b
b = 2
Setelah menemukan nilai b, kamu bisa menggunakan rumus Sn untuk mencari banyaknya suku.
Mempelajari deret aritmatika dapat membantu Anda memecahkan masalah yang berkaitan dengan menyusun bilangan. Dengan lebih memahami materi ini, Anda akan dapat menyelesaikan soal dengan lebih cepat dan tepat.
Demikian pembahasan rumus deret hitung beserta contoh soal dan pembahasan lengkapnya semoga bermanfaat bagi pembaca setia website magzdikbud.com.
