Persamaan Nilai Mutlak – Definisi, Sifat Beserta Contoh Soalnya

Halo teman-teman, artikel ini membahas pengertian persamaan nilai mutlak, sifat perkalian, sifat persamaan dan contoh-contohnya.

Nilai absolut dalam kalkulus sangat berguna untuk dapat menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, baik itu persamaan maupun pertidaksamaan. Berikut penjelasan lengkap tentang nilai mutlak beserta contoh dan pembahasannya.

Definisi nilai absolut

Persamaan nilai mutlak adalah nilai mutlak suatu bilangan, yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut di atas titik 0 pada garis bilangan, ke mana pun arahnya.

Nilai mutlak suatu bilangan x juga dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan di atas titik 0 pada garis bilangan, bagaimanapun kejadiannya. Artinya sanya | x| = 5 memiliki dua solusi.

Hal itu karena ada dua bilangan yang jaraknya di atas 0 adalah 3: x = -3 dan x = 5. Perhatikan gambar garis di bawah ini:

Konsep ini dapat diperluas ke situasi di mana bentuk aljabar muncul dalam simbol nilai absolut.

Sifat perkalian dari persamaan nilai absolut

Jika A dan B adalah bentuk aljabar, maka bentuk tersebut terlihat seperti |AB| = |A||B|.

Tonton kapan SEBUAH = –1 maka berdasarkan sifat ini|–B| = |-1||B| = |B|. Apa, secara umum, properti ini berlaku untuk konstanta apa pun SEBUAH.

• Contoh soal menggunakan sifat perkalian persamaan nilai mutlak

Temukan solusi untuk persamaan berikut: |–2x| + 5 = 15.

Diskusi Pertama-tama kita harus mengisolasi simbol dari nilai absolut, kemudian kita dapat menerapkan sifat-sifat persamaan nilai absolut.

|-2x| + 5 = 15
⇒ |-2x| = 10
⇒ |-2||x| = 10
⇒ 2|x| = 10
⇒ |x| = 5
x = -5 atau x = 5

Sifat persamaan dari nilai absolut

Jika X adalah bentuk aljabar, maka k adalah bilangan real positif, jadi |X| = k dapat berarti X = -k atau X = k.

Seperti yang telah disebutkan dalam sifat persamaan ini, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita memisahkan simbol pada suatu sisi. Mari kita lihat contoh berikut untuk lebih jelasnya.

Selesaikan persamaan berikut: –2|x – 7| + 3 = 15.

diskusi Pertama, kita perlu memisahkan nilai absolutnya terlebih dahulu, yaitu membuat simbol nilai absolut yang ada di satu sisi, kemudian kita bisa meletakkan suku lainnya di sisi sisi yang lain.

-2|x – 7| + 3 = 15
⇒ -2|x – 7| = 12
⇒ |x – 7| = 3

Sekarang Anda perhatikan bahwa Sanya x – 7 adalah “X” ditandai dengan persamaan nilai absolut sehingga

x – 7 = -3 atau x – 7 = 3
x = 4 atau x – 7 = 10

Mensubstitusi ke persamaan awal, kita dapat melihat bahwa satu-satunya himpunan solusi adalah {3, 10}.

Catatan Dalam Persamaan 1 di atas, berhati-hatilah untuk tidak memperlakukan simbol nilai ini sebagai tanda kurung biasa.

Persamaan –2(x – 7) + 3 = 15 hanya memiliki satu solusi x = 10 dan tidak memiliki penyelesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3.

Dalam persamaan –2(x – 7) + 3 = 15 memungkinkan | menyederhanakanx – 7| = 3, yang memiliki dua solusi.

Persamaan ini dapat muncul dalam berbagai bentuk. Namun saat menyelesaikan persamaan, kita masih perlu mengisolasi simbol dari nilai absolut, dan baru kemudian menerapkan sifat-sifat persamaan nilai absolut.

Temukan himpunan solusi dari persamaan berikut:
|5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Diskusi yaitu dengan mengisolasi simbol dari nilai absolut dan kemudian menerapkan sifat-sifat persamaan yang bisa kita dapatkan

|5 – 2/3x| – 9 = 8
⇒ |5 – 2/3x| = 17
⇒ 5 – 2/3x = -17 atau 5 – 2/3x = 17
⇒—2/3x = -22 atau – 2/3x = 12
⇒ x = 33 atau x = -18

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {-18, 33}.

Dan itulah pembahasan mengenai pengertian dan sifat-sifatnya, untuk pembahasan selanjutnya yaitu beberapa contoh soal agar anda dapat menguasai materi ini dengan baik.

Contoh soal persamaan nilai mutlak

1. Dalam formulir ini ada dua solusi.

2x + 2 = 6 , jadi 2x = 6 – 2

2x = 4 <==> x = 2
(**) 2x + 2 = -6 , jadi 2x = -6 -2

2x = -8 <==> x = -4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-4,2}

2. Perhatikan bentuk aljabar yang bertanda mutlak yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini dapat dibagi menjadi 2 bagian.
Bagian pertama berada di batas 3x + 4 >= 0 atau x >= -4/3

Bagian kedua adalah limit 3x + 4< 0 atau x < -4/3

Mari selesaikan.

pada x >= -4/3
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
(3x+4) = x-8
3x-x = -8-4

2x = -12

x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) pada x < -4/3
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
-(3x+4) = x-8
-3x-4 = x-8
-3x – x = -8+4

-4x = -4

x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi tidak ada set solusi.
3. Penyelesaian soal pertidaksamaan mutlak ini dapat dibagi menjadi 2 bagian.

2x-3 >= 7

2x >= 7+3
2x >= 10
x >= 5
(**) 2x-3 <= -7

2x <= -7+3

2x <= -4

x <= -2